Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+5$...

Phương pháp:
- Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M$ là $k=y'\left( {{x}_{0}} \right).$
- Xét dấu tam thức bậc hai: $a{{x}^{2}}+bx+c>0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta <0 \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Ta có $y'=3{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-1.$
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M$ là $k=y'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+m-1.$
Theo bài ra ta có:
$k>0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+m-1>0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3>0\left( luondung \right) \\
& \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-3\left( m-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \mathbb{R}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1-3m+3<0 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4<0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 1<m<4.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{ 2;3 \right\}.$
Vậy tập hợp $S$ có 2 phần tử.