Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $x$ để ba số ${{\log }_{8}}\left( 4x \right),1+{{\log }_{4}}x,{{\log }_{2}}x$ theo thứ tự lập thành một cấp số...

Phương pháp:
- Điều kiện để 3 số $a,b,c$ theo thứ tự lập thành 1 CSN là $ac={{b}^{2}}.$
- Đưa về cùng cơ số 2, sử dụng các công thức ${{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\dfrac{1}{n}{{\log }_{a}}b\left( 0<a\ne 1,b>0 \right).{{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y$ $\left( 0>a\ne 1,x,y>0 \right)$.
- Đưa về phương trình bậc hai đối với hàm số logarit, giải phương trình tìm $x.$
Cách giải:
Để ba số ${{\log }_{8}}\left( 4x \right),1+{{\log }_{4}}x,{{\log }_{2}}x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì
${{\log }_{8}}\left( 4x \right).{{\log }_{2}}x={{\left( 1+{{\log }_{4}}x \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}\left( 4x \right).{{\log }_{2}}x={{\left( 1+\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left( {{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}x \right).{{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{4}\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{{\log }_{2}}x+\dfrac{1}{3}\log _{2}^{2}x=\dfrac{1}{4}\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{12}\log _{2}^{2}x-\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=6 \\
& {{\log }_{2}}x=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{2}^{6}} \\
& x=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=\left\{ {{2}^{6}};\dfrac{1}{4} \right\}$.
Vậy tập hợp $S$ có 2 phần tử.