Gọi $S$ là tập các số nguyên $m\in \left[ -2022;2022 \right]$ để...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& m+{{\log }_{2}}x\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó
$\log _{2}^{2}x-{{\log }_{\sqrt{2}}}x=m-\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x=m-\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x=\left( m+{{\log }_{2}}x \right)-\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{\log }_{2}}x \\
& v=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x} \\
\end{aligned} \right.$, khi đó phương trình có dạng
${{u}^{2}}-u={{v}^{2}}-v\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( u+v-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& u=v \\
& u+v=1 \\
\end{aligned} \right.$
Xét $u=v\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}\Leftrightarrow u=\sqrt{m+u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& u\ge 0 \\
& {{u}^{2}}-u=m \\
\end{aligned} \right.$.
Xét $u+v=1\Leftrightarrow 1-u=\sqrt{m+u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& u\le 1 \\
& {{u}^{2}}-3u+1=m \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có đồ thị hai hàm số $y={{u}^{2}}-u,u\ge 0$ và $y={{u}^{2}}-3u+1,u\le 1$ trên cùng một hệ tọa độ như sau
Từ đồ thị để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thì $-\dfrac{1}{4}<m\le 0$.
Vậy có $1$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.