Gọi $S$ là tập các số nguyên $m\in [-2022;2022]$ để...

Điều kiện $\{\begin{array}{rl}& x>0\\ & m+{\log }_{2}x\ge 0\end{array}$.
Khi đó
${\log }_2^{2}x-{\log }_{\sqrt{2}}x=m-\sqrt{m+{\log }_{2}x}$
$\iff {\log }_2^{2}x-2{\log }_{2}x=m-\sqrt{m+{\log }_{2}x}\iff {\log }_2^{2}x-{\log }_{2}x=(m+{\log }_{2}x)-\sqrt{m+{\log }_{2}x}$
Đặt $\{\begin{array}{rl}& u={\log }_{2}x\\ & v=\sqrt{m+{\log }_{2}x}\end{array}$, khi đó phương trình có dạng
$u^2-u=v^2-v\iff (u-v)(u+v-1)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& u=v\\ & u+v=1\end{array}$
Xét $u=v\iff {\log }_{2}x=\sqrt{m+{\log }_{2}x}\iff u=\sqrt{m+u}\iff \{\begin{array}{rl}& u\ge 0\\ & u^2-u=m\end{array}$.
Xét $u+v=1\iff 1-u=\sqrt{m+u}\iff \{\begin{array}{rl}& u\le 1\\ & u^2-3u+1=m\end{array}$.
Ta có đồ thị hai hàm số $y=u^2-u,u\ge 0$ và $y=u^2-3u+1,u\le 1$ trên cùng một hệ tọa độ như sau
Từ đồ thị để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thì $-{\displaystyle \frac{1}{4}}<m\le 0$.
Vậy có $1$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.