Google
Câu hỏi: Gọi S là tập các giá trị m nguyên $m$ để phương trình $9.{{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{x}}-m+2020=0$ có đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của S là
A. $7$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $8$.
A. $7$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $8$.
Do ${{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{x}}.{{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{x}}=1$ nên:
Đặt ${{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{x}}=t$ với $t>0\Rightarrow {{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t},$ ta có phương trình
$9t+\dfrac{1}{t}-m+2020=0\Leftrightarrow m=9t+\dfrac{1}{t}+2020\left( * \right).$
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm $t\in \left( 0;1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=9t+\dfrac{1}{t}+2020\Rightarrow f'\left( t \right)=9-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}.$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{3}.$
Bảng biến thiên:
Do đó, $m\in \left( 2026;2029 \right).$ Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{ 2027;2028;2029 \right\}.$
Vậy số tập con của $S$ là 8.
Đặt ${{\left( \sqrt{10}+3 \right)}^{x}}=t$ với $t>0\Rightarrow {{\left( \sqrt{10}-3 \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t},$ ta có phương trình
$9t+\dfrac{1}{t}-m+2020=0\Leftrightarrow m=9t+\dfrac{1}{t}+2020\left( * \right).$
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm $t\in \left( 0;1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=9t+\dfrac{1}{t}+2020\Rightarrow f'\left( t \right)=9-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}.$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{3}.$
Bảng biến thiên:
Vậy số tập con của $S$ là 8.
Đáp án D.