Gọi S là tập các giá trị m nguyên $m$ để phương trình $9. {(\sqrt{10} + 3)}^{x} + {(\sqrt{10} - 3)}^{x} - m + 2020 = 0$ có đúng...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Gọi S là tập các giá trị m nguyên $m$ để phương trình

9. {(\sqrt{10} + 3)}^{x} + {(\sqrt{10} - 3)}^{x} - m + 2020 = 0

có đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của S là
A.

7

.
B.

3

.
C.

6

.
D.

8

.

Do

{(\sqrt{10} + 3)}^{x} . {(\sqrt{10} - 3)}^{x} = 1

nên:
Đặt

{(\sqrt{10} + 3)}^{x} = t

với

t > 0 \Rightarrow {(\sqrt{10} - 3)}^{x} = \frac{1}{t},

ta có phương trình

9 t + \frac{1}{t} - m + 2020 = 0 \Leftrightarrow m = 9 t + \frac{1}{t} + 2020 (*) .

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt

\Leftrightarrow (*)

có hai nghiệm

t \in (0; 1) .

Xét hàm số

f (t) = 9 t + \frac{1}{t} + 2020 \Rightarrow f^{'} (t) = 9 - \frac{1}{t^{2}} .

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3} .

Bảng biến thiên:

Do đó,

m \in (2026; 2029) .

Do

m \in Z \Rightarrow S = {2027; 2028; 2029} .

Vậy số tập con của

S

là 8.

Đáp án D.

Gọi S là tập các giá trị m nguyên m để phương trình 9.(10+3)x+(10−3)x−m+2020=0 có đúng...