Gọi $S$ là tập các giá trị dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+27x+3m-2$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn...

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+27,\mathrm{\Delta }{{}^{\prime }}_{y^{\prime }}=9m^2-81$
Để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+27x+3m-2$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thì $\mathrm{\Delta }{{}^{\prime }}_{y^{\prime }}>0\iff 9m^2-81>0\iff [\begin{array}{rl}& m>3\\ & m<-3\end{array}(\ast )$
Khi đó phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=2m\\ & x_1.x_2=9\end{array}\left(1\right)$
Theo bài ra ta có $|x_1-x_2|\le 5\iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1.x_2\le 25\left(2\right)$
Thay $\left(1\right)$ vào $\left(2\right)$, được: $4m^2-36\le 25\iff m^2\le {\displaystyle \frac{61}{4}}\iff -{\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{2}}\le m\le {\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{2}}$
Kết hợp điều kiện $(\ast ),$ suy ra tập các giá trị dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $S=(3;{\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{2}}].$ Vậy $T=2.{\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{2}}-3=\sqrt{61}-3.$