Gọi $S$ là tập các giá trị dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+27x+3m-2$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn...

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+27,\Delta {{'}_{y'}}=9{{m}^{2}}-81$
Để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+27x+3m-2$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $\Delta {{'}_{y'}}>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-81>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Theo bài ra ta có $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}\le 25\left( 2 \right)$
Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$, được: $4{{m}^{2}}-36\le 25\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \dfrac{61}{4}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{61}}{2}\le m\le \dfrac{\sqrt{61}}{2}$
Kết hợp điều kiện $\left( * \right),$ suy ra tập các giá trị dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $S=\left( 3;\dfrac{\sqrt{61}}{2} \right].$ Vậy $T=2.\dfrac{\sqrt{61}}{2}-3=\sqrt{61}-3.$