Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số...

Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5m-3 \right)x+3m-3{{m}^{2}}$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập cấp số cộng.
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5m-3 \right)x+3m-3{{m}^{2}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
${{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5m-3 \right)x+3m-3{{m}^{2}}=0 \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left[ {{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-3=0 \\
& {{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-3=0 \\
& x-m=0 \\
& x-m+1=9 \\
\end{aligned} \right.$
Để (1) có 3 nghiệm phân biệt thì cần $m\ne 3;m\ne 4$
3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi $\left[ \begin{aligned}
& 3;m-1;m \\
& m-1;3;m \\
& m-1;m;3 \\
\end{aligned} \right.$ lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó.
Do đó:$\left[ \begin{aligned}
& 3+m=2\left( m-1 \right) \\
& m-1+m=2.3 \\
& m-1+3=2m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=\dfrac{7}{2} \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tích các phần tử thuộc tập S là 35.