Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( {{C}_{1}} \right)$ : $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-2{{m}^{3}}$ và đường cong $\left( {{C}_{2}} \right):y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}-5{{m}^{2}}x$. Gọi $N$, $n $ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S$ khi $m\in \left[ 1;3 \right]$. Tính $N-n$.
A. $\dfrac{27}{4}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{20}{3}$.
D. $\dfrac{10}{3}$.
A. $\dfrac{27}{4}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{20}{3}$.
D. $\dfrac{10}{3}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là:
$\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-2{{m}^{3}}=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}-5{{m}^{2}}x$ $\Leftrightarrow \ {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}}=0$
$\Leftrightarrow \ {{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-2m \right)=0\ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=2m \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \left[ 1;3 \right]$ nên $m<2m$ và ${{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-2m \right)\le 0, \forall x\in \left[ m ;2m \right]$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là:
$S=\int\limits_{m}^{2m}{\left| {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}} \right| }\text{d}x=-\int\limits_{m}^{2m}{\left( {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}} \right)\text{d}x}$
$=\left. -\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{4m{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{5{{m}^{2}}{{x}^{2}}}{2}-2{{m}^{3}}x \right) \right|_{m}^{2m}=\dfrac{{{m}^{4}}}{12}$
Vì hàm số $y=\dfrac{{{m}^{4}}}{12}$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ nên $N=\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{27}{4}$, $n=\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=\dfrac{1}{12}$. Vậy $N-n=\dfrac{27}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{20}{3}$
$\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-2{{m}^{3}}=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}-5{{m}^{2}}x$ $\Leftrightarrow \ {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}}=0$
$\Leftrightarrow \ {{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-2m \right)=0\ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=2m \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \left[ 1;3 \right]$ nên $m<2m$ và ${{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-2m \right)\le 0, \forall x\in \left[ m ;2m \right]$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là:
$S=\int\limits_{m}^{2m}{\left| {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}} \right| }\text{d}x=-\int\limits_{m}^{2m}{\left( {{x}^{3}}-4m{{x}^{2}}+5{{m}^{2}}x-2{{m}^{3}} \right)\text{d}x}$
$=\left. -\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{4m{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{5{{m}^{2}}{{x}^{2}}}{2}-2{{m}^{3}}x \right) \right|_{m}^{2m}=\dfrac{{{m}^{4}}}{12}$
Vì hàm số $y=\dfrac{{{m}^{4}}}{12}$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ nên $N=\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{27}{4}$, $n=\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=\dfrac{1}{12}$. Vậy $N-n=\dfrac{27}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{20}{3}$
Đáp án C.