Google
Câu hỏi: Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$. Khi đó, giá trị của $M^{2}+m^{2}$ là
A. $\dfrac{41}{4}$.
B. $\dfrac{31}{2}$.
C. $\dfrac{11}{2}$.
D. $\dfrac{61}{4}$.
A. $\dfrac{41}{4}$.
B. $\dfrac{31}{2}$.
C. $\dfrac{11}{2}$.
D. $\dfrac{61}{4}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$
$y=\dfrac{3x+2}{x+1}\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \left[ 0; 1 \right]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$
Do đó, $m=\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=2$ và $M=\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{5}{2}$
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=\dfrac{41}{4}$.
$y=\dfrac{3x+2}{x+1}\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \left[ 0; 1 \right]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$
Do đó, $m=\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=2$ và $M=\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{5}{2}$
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=\dfrac{41}{4}$.
Đáp án A.