Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+a \right|$ trên đoạn $\left[...

Xét $g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+a$ với $x\in \left[ -3;2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=12x\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( 0 \right)=a$ ; $g\left( -1 \right)=-5+a$ ; $g\left( 2 \right)=-32+a$ ; $g\left( -3 \right)=243+a$.
Bảng biến thiên $g\left( x \right)$

Có $\underset{\!\![\!\!\text{ -3};2]}{\mathop{\max }} \left| g\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| g(-3) \right| , \left| g(-1) \right| ,\left| g(0) \right|, \left| g(2) \right| \right\}$ nên xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a\ge 32$. Khi đó $M=243+a$ ; $m=-32+a$.
Ta có: $M\le 2m\Leftrightarrow 243+a\le 2(a-32)\Leftrightarrow a\ge 307$. Với $\left\{ \begin{aligned}
& a\in \left( -2019;2019 \right) \\
& a\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow a\in \left\{ 307;308;...;2017;2018 \right\} $. Vậy trong trường hợp này có $ 1712$ giá trị a.
Trường hợp 2: $a+243\le 0\Leftrightarrow a\le -243$. Khi đó $M=32-a$ ; $m=-\left( 243+a \right)$.
Ta có $M\le 2m\Leftrightarrow 32-a\le -2\left( 243+a \right)\Leftrightarrow a\le -518$. Với $\left\{ \begin{aligned}
& a\in \left( -2019;2019 \right) \\
& a\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow a\in \left\{ -2018;-2017;...;-519;-518 \right\} $. Vậy trong trường hợp này có $ 1501$ giá trị a.
Trường hợp 3: $-243<a<32$. Khi đó $(243+a)(a-32)<0$ nên $M>0; m=0$. Vậy trong trường hợp này $0$ có giá trị a để $M\le 2m$.
Tóm lại có $3213$ giá trị $a$ cần tìm.