Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4$ trên đoạn $\left[ -4;0 \right].$...

Phương pháp:
- Tính $y',$ xác định các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ -4;0 \right]$ của phương trình $y'=0.$
- Tính $y\left( -4 \right),y\left( 0 \right),y\left( {{x}_{i}} \right).$
- KL: $\underset{\left[ -4;0 \right]}{\mathop{\min }} y=\min \left\{ y\left( -4 \right),y\left( 0 \right),y\left( {{x}_{i}} \right) \right\},\underset{\left[ -4;0 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ y\left( -4 \right),y\left( 0 \right),y\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$
Cách giải:
Ta có $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\Rightarrow y'={{x}^{2}}+4x+3.$
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.\in \left[ -4;0 \right]$.
$y\left( -4 \right)=y\left( -1 \right)=-\dfrac{16}{3},y\left( -3 \right)=y\left( 0 \right)=-4.$
$\Rightarrow \underset{\left[ -4;0 \right]}{\mathop{\min }} y=-\dfrac{16}{3};\underset{\left[ -4;0 \right]}{\mathop{\max }} y=-4=M.$
Vậy $\dfrac{m}{M}=\dfrac{-\dfrac{16}{3}}{-4}=\dfrac{4}{3}.$