Gọi $M(x_M;y_M)$ là một điểm thuộc $\left(C\right):y=x^3-3x^2+2,$ biết tiếp tuyến của $\left(C\right)$...

Hàm số $y=x^3-3x^2+2$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x\Rightarrow$ Tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M(x_M;y_M)$ có phương trình là:
$y=(3x_M^2-6x_M)(x-x_M)+x_M^3-3x_M^2+2$
Tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M$ cắt $\left(C\right)$ tại điểm $N(x_N;y_N)$ (khác $M)$ nên $x_M;x_N$ là nghiệm của phương trình: $x^3-3x^2+2=(3x_M^2-6x_M)(x-x_M)+x_M^3-3x_M^2+2$
$\iff (x^3-x_M^3)-3(x^2-x_M^2)-(3x_M^2-6x_M)(x-x_M)=0$
$\iff {(x-x_M)}^2(x+2x_M-3)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=x_M\\ & x=-2x_M+3\end{array}$
$M$ khác $N\iff x_M\ne -2x_M+3\iff 3x_M\ne 3\iff x_M\ne 1\Rightarrow x_N=-2x_M+3$
Khi đó: $P=5x_M^2+x_N^2=5x_M^2+{(-2x_M^{}+3)}^2=9x_M^2-12x_M+9={(3x_M-2)}^2+5\ge 5$ với $\mathrm{\forall }{x}_M$
Dấu "=" xảy ra $\iff {(3x_M-2)}^2=0\iff 3x_M-2=0\iff 3x_M=2\iff x_M={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (thỏa mãn)
Với $x_M={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow y_M={\displaystyle \frac{26}{27}}\Rightarrow OM=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{26}{27}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{10\sqrt{10}}{27}}$
Vậy $OM={\displaystyle \frac{10\sqrt{10}}{27}}.$