Gọi $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ là một điểm thuộc $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2,$ biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$...

Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow $ Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ có phương trình là:
$y=\left( 3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}} \right)\left( x-{{x}_{M}} \right)+x_{M}^{3}-3x_{M}^{2}+2$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}} \right)$ (khác $M)$ nên ${{x}_{M}};{{x}_{N}}$ là nghiệm của phương trình: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=\left( 3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}} \right)\left( x-{{x}_{M}} \right)+x_{M}^{3}-3x_{M}^{2}+2$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-x_{M}^{3} \right)-3\left( {{x}^{2}}-x_{M}^{2} \right)-\left( 3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}} \right)\left( x-{{x}_{M}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{M}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{M}}-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{M}} \\
& x=-2{{x}_{M}}+3 \\
\end{aligned} \right.$
$M$ khác $N\Leftrightarrow {{x}_{M}}\ne -2{{x}_{M}}+3\Leftrightarrow 3{{x}_{M}}\ne 3\Leftrightarrow {{x}_{M}}\ne 1\Rightarrow {{x}_{N}}=-2{{x}_{M}}+3$
Khi đó: $P=5x_{M}^{2}+x_{N}^{2}=5x_{M}^{2}+{{\left( -2x_{M}^{{}}+3 \right)}^{2}}=9x_{M}^{2}-12{{x}_{M}}+9={{\left( 3{{x}_{M}}-2 \right)}^{2}}+5\ge 5$ với $\forall {{x}_{M}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {{\left( 3{{x}_{M}}-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 3{{x}_{M}}-2=0\Leftrightarrow 3{{x}_{M}}=2\Leftrightarrow {{x}_{M}}=\dfrac{2}{3}$ (thỏa mãn)
Với ${{x}_{M}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{y}_{M}}=\dfrac{26}{27}\Rightarrow OM=\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{26}{27} \right)}^{2}}}=\dfrac{10\sqrt{10}}{27}$
Vậy $OM=\dfrac{10\sqrt{10}}{27}.$