Gọi $m$ là tham số thực để giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^2+2x+m-4|$ trên đoạn $[-2;1]$ đạt giá trị nhỏ nhất...

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x+m-4$ trên đoạn $[-2;1].$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=2x+2=0\iff 2x=-2\iff x=-1$
$y(-2)=|m-4|;y(-1)=|m-5|;y\left(1\right)=|m-1|$
Với $\mathrm{\forall }m$ ta luôn có: $m-1>m-4>m-5$ nên $\underset{[-2;1]}{Max}y=Max\{|m-1|;|m-5|\}$
Mà $|m-1|\ge |m-5|\iff {(m-1)}^2\ge {(m-5)}^2\iff m^2-2m+1\ge m^2-10m+25\iff 8m\ge 24\iff m\ge 3$
Do đó: $\underset{[-2;1]}{Max}y=Max\{|m-1|;|m-5|\}=\{\begin{array}{rl}& |m-1|khim\ge 3\\ & |m-5|khim\le 3\end{array}$
Xét hàm số $g\left(m\right)=\{\begin{array}{rl}& |m-1|khim\ge 3\\ & |m-5|khim\le 3\end{array}\Rightarrow g\left(m\right)=\{\begin{array}{rl}& m-1khim\ge 3\\ & 5-mkhim\le 3\end{array}$
Đồ thị hàm số như sau:

Từ đồ thị ta thấy $Min\left[g\left(m\right)\right]=2$ khi $m=3$
Vậy khi $m=3$ thì giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^2+2x+m-4|$ trên đoạn $[-2;1]$ đạt giá trị