Gọi $m$ là tham số thực để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+2x+m-4 \right|$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+m-4$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right].$
Ta có: $f'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow 2x=-2\Leftrightarrow x=-1$
$y\left( -2 \right)=\left| m-4 \right|;y\left( -1 \right)=\left| m-5 \right|;y\left( 1 \right)=\left| m-1 \right|$
Với $\forall m$ ta luôn có: $m-1>m-4>m-5$ nên $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{Max}} y=Max\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m-5 \right| \right\}$
Mà $\left| m-1 \right|\ge \left| m-5 \right|\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( m-5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1\ge {{m}^{2}}-10m+25\Leftrightarrow 8m\ge 24\Leftrightarrow m\ge 3$
Do đó: $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{Max}} y=Max\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m-5 \right| \right\}=\left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|khim\ge 3 \\
& \left| m-5 \right|khim\le 3 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( m \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|khim\ge 3 \\
& \left| m-5 \right|khim\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( m \right)=\left\{ \begin{aligned}
& m-1khim\ge 3 \\
& 5-mkhim\le 3 \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số như sau:

Từ đồ thị ta thấy $Min\left[ g\left( m \right) \right]=2$ khi $m=3$
Vậy khi $m=3$ thì giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+2x+m-4 \right|$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$ đạt giá trị