Google
Câu hỏi: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin20x+cos20x+1. Khi đó tích M.m bằng
A. 2.
B. $\dfrac{169}{84}$
C. $\dfrac{513}{256}$
D. $\dfrac{513}{512}$
A. 2.
B. $\dfrac{169}{84}$
C. $\dfrac{513}{256}$
D. $\dfrac{513}{512}$
Tập xác định của hàm số: D = R.
Ta có: $y=f\left( x \right)=si{{n}^{20}}x+co{{s}^{20}}x+1={{\left( si{{n}^{2}}x \right)}^{10}}+{{\left( co{{s}^{2}}x \right)}^{10}}+1={{\left( si{{n}^{2}}x \right)}^{10}}+{{\left( co{{s}^{2}}x \right)}^{10}}+1$
Đặt $t=si{{n}^{2}}x$, ta có $f\left( t \right)={{t}^{10}}+{{\left( 1-t \right)}^{10}}+1,t\in [0;1].~$
$f'\left( t \right)=10{{t}^{9}}-10{{\left( 1-t \right)}^{9}}$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 10{{t}^{9}}-10{{\left( 1-t \right)}^{9}}=0\Leftrightarrow t=1-t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
$M=2, m=\dfrac{513}{512}\Rightarrow M.m=\dfrac{513}{256}$
Ta có: $y=f\left( x \right)=si{{n}^{20}}x+co{{s}^{20}}x+1={{\left( si{{n}^{2}}x \right)}^{10}}+{{\left( co{{s}^{2}}x \right)}^{10}}+1={{\left( si{{n}^{2}}x \right)}^{10}}+{{\left( co{{s}^{2}}x \right)}^{10}}+1$
Đặt $t=si{{n}^{2}}x$, ta có $f\left( t \right)={{t}^{10}}+{{\left( 1-t \right)}^{10}}+1,t\in [0;1].~$
$f'\left( t \right)=10{{t}^{9}}-10{{\left( 1-t \right)}^{9}}$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 10{{t}^{9}}-10{{\left( 1-t \right)}^{9}}=0\Leftrightarrow t=1-t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
$M=2, m=\dfrac{513}{512}\Rightarrow M.m=\dfrac{513}{256}$
Đáp án C.