Google
Câu hỏi: Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}=x+\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)i$ ( với $a\in \mathbb{R}$ ) và $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ biết $\left| {{z}_{2}}-2-i \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}}-6-i \right|$. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $M, N$.
A. $2\sqrt{5}$.
B. $5$.
C. $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
D. $1$.
A. $2\sqrt{5}$.
B. $5$.
C. $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
D. $1$.
Số phức ${{z}_{1}}=x+\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)i$ có điểm biểu diễn $M\left( x ; {{x}^{2}}-2x+2 \right)$.
Giả sử điểm $N\left( a ; b \right), a,b\in \mathbb{R}$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$.
$\Rightarrow {{z}_{2}}=a+bi, {{\overline{z}}_{2}}=a-bi$.
$\left| {{z}_{2}}-2-i \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}}-6-i \right|\Leftrightarrow \left| a+bi-2-i \right|=\left| a-bi-6-i \right|\Rightarrow \left| a-2+\left( b-1 \right)i \right|=\left| a-6+\left( -b-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow 2a-b-8=0$.
Vậy tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta :2a-b-8=0$.
Ta có:
$MN\ge d\left( M, \Delta \right)=\dfrac{\left| 2x-\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| {{x}^{2}}-4x+10 \right|}{\sqrt{5}}=\dfrac{\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}+6 \right|}{\sqrt{5}}\ge \dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=2.$
Giả sử điểm $N\left( a ; b \right), a,b\in \mathbb{R}$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$.
$\Rightarrow {{z}_{2}}=a+bi, {{\overline{z}}_{2}}=a-bi$.
$\left| {{z}_{2}}-2-i \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}}-6-i \right|\Leftrightarrow \left| a+bi-2-i \right|=\left| a-bi-6-i \right|\Rightarrow \left| a-2+\left( b-1 \right)i \right|=\left| a-6+\left( -b-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow 2a-b-8=0$.
Vậy tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta :2a-b-8=0$.
Ta có:
$MN\ge d\left( M, \Delta \right)=\dfrac{\left| 2x-\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| {{x}^{2}}-4x+10 \right|}{\sqrt{5}}=\dfrac{\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}+6 \right|}{\sqrt{5}}\ge \dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=2.$
Đáp án C.