Google
Câu hỏi: Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số thực $m$ sao cho phương trình
$(m-1){{\log }^{2}}_{\frac{1}{2}}(x-2)-(m-5){{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-2)+m-1=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(2;4)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ${{m}_{o}}\in \left( -1;\frac{4}{3} \right)$
B. ${{m}_{o}}\in \left( 2;\frac{10}{3} \right)$
C. ${{m}_{o}}\in \left( 4;\frac{16}{3} \right)$
D. ${{m}_{o}}\in \left( -5;-\frac{5}{2} \right)$
$(m-1){{\log }^{2}}_{\frac{1}{2}}(x-2)-(m-5){{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-2)+m-1=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(2;4)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ${{m}_{o}}\in \left( -1;\frac{4}{3} \right)$
B. ${{m}_{o}}\in \left( 2;\frac{10}{3} \right)$
C. ${{m}_{o}}\in \left( 4;\frac{16}{3} \right)$
D. ${{m}_{o}}\in \left( -5;-\frac{5}{2} \right)$
Phương trình đã cho trở thành
$\begin{aligned}
& (m-1){{\log }^{2}}_{\frac{1}{2}}(x-2)-(m-5){{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-2)+m-1=0 \\
& \Leftrightarrow (m-1){{\log }^{2}}_{2}(x-2)+(m-5){{\log }_{2}}(x-2)+(m-1)=0(1) \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\log }_{2}}(x-2)=t\Rightarrow t<1$
$\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1$
Khi đó $m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}$ trên $\left( -\infty ;1 \right)$
Ta có $\begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)=\frac{4\left( 1-{{t}^{2}} \right)}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0 \\
& \Leftrightarrow t=\pm 1 \\
\end{aligned}$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT, suy ra $-3\le m<\frac{7}{3}$ . Suy ra, GTNN của m là $m=-3$. Chọn đáp án D.
$\begin{aligned}
& (m-1){{\log }^{2}}_{\frac{1}{2}}(x-2)-(m-5){{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-2)+m-1=0 \\
& \Leftrightarrow (m-1){{\log }^{2}}_{2}(x-2)+(m-5){{\log }_{2}}(x-2)+(m-1)=0(1) \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\log }_{2}}(x-2)=t\Rightarrow t<1$
$\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1$
Khi đó $m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}$ trên $\left( -\infty ;1 \right)$
Ta có $\begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)=\frac{4\left( 1-{{t}^{2}} \right)}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0 \\
& \Leftrightarrow t=\pm 1 \\
\end{aligned}$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT, suy ra $-3\le m<\frac{7}{3}$ . Suy ra, GTNN của m là $m=-3$. Chọn đáp án D.
Đáp án D.