Google
Câu hỏi: Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình sau có nghiệm
$1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( 8 ;9 \right)$.
B. ${{m}_{0}}\in \left( 9 ;10 \right)$.
C. ${{m}_{0}}\in \left( -10 ;-9 \right)$.
D. ${{m}_{0}}\in \left( -9 ;-8 \right)$.
$1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( 8 ;9 \right)$.
B. ${{m}_{0}}\in \left( 9 ;10 \right)$.
C. ${{m}_{0}}\in \left( -10 ;-9 \right)$.
D. ${{m}_{0}}\in \left( -9 ;-8 \right)$.
ĐK: $-1<x<2$. Đặt $t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\Rightarrow t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le {{\log }_{2}}\left( m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\dfrac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)\le m \\
\end{aligned}$
BPT trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\le m$, $t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t, t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Ta có ${f}'\left( t \right)=t-4<0,\forall t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( \sqrt{3};3 \right]$
$\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 3 \right)=-\dfrac{19}{2}$, $\forall t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
BPT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT $f\left( t \right)\le m$ có nghiệm $t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Do đó: $m\ge \underset{\left( \sqrt{3};3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=-\dfrac{19}{2}\Rightarrow {{m}_{0}}=-\dfrac{19}{2}\in \left( -10 ;-9 \right)$.
BPT $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le {{\log }_{2}}\left( m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\dfrac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\dfrac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)\le m \\
\end{aligned}$
BPT trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\le m$, $t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t, t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Ta có ${f}'\left( t \right)=t-4<0,\forall t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( \sqrt{3};3 \right]$
$\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 3 \right)=-\dfrac{19}{2}$, $\forall t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
BPT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT $f\left( t \right)\le m$ có nghiệm $t\in \left( \sqrt{3};3 \right]$
Do đó: $m\ge \underset{\left( \sqrt{3};3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=-\dfrac{19}{2}\Rightarrow {{m}_{0}}=-\dfrac{19}{2}\in \left( -10 ;-9 \right)$.
Đáp án C.