Google
Câu hỏi: Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left( x-2 \right)-\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}+m-1=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 2;4 \right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( -1;\dfrac{4}{3} \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left( 2;\dfrac{10}{3} \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 4;\dfrac{16}{3} \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left( -5;-\dfrac{5}{2} \right)$
A. ${{m}_{0}}\in \left( -1;\dfrac{4}{3} \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left( 2;\dfrac{10}{3} \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 4;\dfrac{16}{3} \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left( -5;-\dfrac{5}{2} \right)$
Cách giải:
Đặt $t={{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x-2 \right),x\in \left( 2,4 \right)\Rightarrow x-2\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow t>-1$
Phương trình đã cho trở thành: $\left( m-1 \right){{t}^{2}}-\left( m-5 \right)t+m-1=0\left( * \right)$
Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc $\left( 2;4 \right)$ thì phương trình (*) phải có nghiệm $t>-1$
$\left( * \right)\Leftrightarrow m{{t}^{2}}-{{t}^{2}}-mt+5t+m-1=0$
$\Leftrightarrow \left( {{t}^{2}}-t+1 \right)m={{t}^{2}}-5t+1$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}\left( ** \right)$
Để phương trình (*) có nghiệm $t>-1$ thì phương trình (**) có nghiệm $t>-1$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}\left( t>-1 \right)$ ta có:
${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-5 \right)\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-5t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+2t-5{{t}^{2}}+5t-5-2{{t}^{3}}+10{{t}^{2}}-2t+{{t}^{2}}-5t+1}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{4{{t}^{2}}-4}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
Khi đó ta có BBT như sau:
Đặt $t={{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x-2 \right),x\in \left( 2,4 \right)\Rightarrow x-2\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow t>-1$
Phương trình đã cho trở thành: $\left( m-1 \right){{t}^{2}}-\left( m-5 \right)t+m-1=0\left( * \right)$
Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc $\left( 2;4 \right)$ thì phương trình (*) phải có nghiệm $t>-1$
$\left( * \right)\Leftrightarrow m{{t}^{2}}-{{t}^{2}}-mt+5t+m-1=0$
$\Leftrightarrow \left( {{t}^{2}}-t+1 \right)m={{t}^{2}}-5t+1$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}\left( ** \right)$
Để phương trình (*) có nghiệm $t>-1$ thì phương trình (**) có nghiệm $t>-1$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}\left( t>-1 \right)$ ta có:
${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-5 \right)\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-5t+1 \right)\left( 2t-1 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+2t-5{{t}^{2}}+5t-5-2{{t}^{3}}+10{{t}^{2}}-2t+{{t}^{2}}-5t+1}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{4{{t}^{2}}-4}{{{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
Khi đó ta có BBT như sau:
Đáp án D.