Google
Câu hỏi: Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+(2m+1)x+3-m$ có 2 điểm cực trị A và B sao cho khoảng cách từ $I(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4})$ đế AB là lớn nhất. Chọn khẳng định đúng
A. ${{m}_{0}}<1$.
B. ${{m}_{0}}\in (1,3)$.
C. ${{m}_{0}}\in (2;4)$.
D. ${{m}_{0}}\in (-1;1)$.
A. ${{m}_{0}}<1$.
B. ${{m}_{0}}\in (1,3)$.
C. ${{m}_{0}}\in (2;4)$.
D. ${{m}_{0}}\in (-1;1)$.
Ta có ${{y}^{'}}=3m{{x}^{2}}-6mx+2m+1$
Hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow PT:3m{{x}^{2}}-6mx+2m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& 9{{m}^{2}}-3m(2m+1)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& 3{{m}^{2}}-3m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A,B là:
$y=(-\dfrac{2m}{3}+\dfrac{2}{3})x+\dfrac{10}{3}-\dfrac{m}{3}\Leftrightarrow (2-2m)x-3y+10-m=0$
Đường thẳng AB luôn đi qua điểm $E(-\dfrac{1}{2};3)$ nên $d(I;AB)\le IE$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow EI\bot AB$
Mà $\overrightarrow{EI}(1;\dfrac{3}{4})$ nên $EI\bot AB\Leftrightarrow \dfrac{2-2m}{1}=\dfrac{-3}{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow m=3(tm)$.
Hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow PT:3m{{x}^{2}}-6mx+2m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& 9{{m}^{2}}-3m(2m+1)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& 3{{m}^{2}}-3m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A,B là:
$y=(-\dfrac{2m}{3}+\dfrac{2}{3})x+\dfrac{10}{3}-\dfrac{m}{3}\Leftrightarrow (2-2m)x-3y+10-m=0$
Đường thẳng AB luôn đi qua điểm $E(-\dfrac{1}{2};3)$ nên $d(I;AB)\le IE$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow EI\bot AB$
Mà $\overrightarrow{EI}(1;\dfrac{3}{4})$ nên $EI\bot AB\Leftrightarrow \dfrac{2-2m}{1}=\dfrac{-3}{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow m=3(tm)$.
Đáp án C.