Google
Câu hỏi: Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}$, thỏa mãn $F\left( 0 \right)=\dfrac{1}{\ln 2}$. Tính giá trị biểu thức $T=F\left( 0 \right)+F\left( 1 \right)+...+F\left( 2018 \right)+F\left( 2019 \right)+F\left( 2020 \right)+F\left( 2021 \right)$
A. $T=1011.\dfrac{{{2}^{2021}}+1}{\ln 2}$.
B. $T={{2}^{2021.2022}}$.
C. $T=\dfrac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2}$.
D. $T=\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{\ln 2}$.
A. $T=1011.\dfrac{{{2}^{2021}}+1}{\ln 2}$.
B. $T={{2}^{2021.2022}}$.
C. $T=\dfrac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2}$.
D. $T=\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{\ln 2}$.
Ta có $\int{f\left( x \right)}\text{d}x=\int{{{2}^{x}}}\text{d}x=\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}$, ta có $F\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C$ mà $F\left( 0 \right)=\dfrac{1}{\ln 2}$
$\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}$.
$T=F\left( 0 \right)+F\left( 1 \right)+...+F\left( 2018 \right)+F\left( 2019 \right)+F\left( 2020 \right)+F\left( 2021 \right)$
$=\dfrac{1}{\ln 2}\left( 1+2+{{2}^{2}}+...+{{2}^{2018}}+{{2}^{2019}}+{{2}^{2020}}+{{2}^{2021}} \right)$ $=\dfrac{1}{\ln 2}.\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{2-1}$ $=\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{\ln 2}$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}$, ta có $F\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C$ mà $F\left( 0 \right)=\dfrac{1}{\ln 2}$
$\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}$.
$T=F\left( 0 \right)+F\left( 1 \right)+...+F\left( 2018 \right)+F\left( 2019 \right)+F\left( 2020 \right)+F\left( 2021 \right)$
$=\dfrac{1}{\ln 2}\left( 1+2+{{2}^{2}}+...+{{2}^{2018}}+{{2}^{2019}}+{{2}^{2020}}+{{2}^{2021}} \right)$ $=\dfrac{1}{\ln 2}.\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{2-1}$ $=\dfrac{{{2}^{2022}}-1}{\ln 2}$
Đáp án D.