Gọi $E$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương $y$ sao cho với mỗi số $y$ có không quá 4031 số nguyên $x$ thỏa mãn $\log _{2}^{2}x-3y{{\log...

Phương pháp:
- Coi bất phương trình đã cho có $y$ là tham số. Giải bất phương trình tìm tập nghiệm theo $y.$
- Giả sử tập nghiệm là $\left( a;b \right)$, giải bất phương trình $b-a+1-2\le 4031$ tìm $y.$
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Coi bất phương trình đã cho có $y$ là tham số.
Ta có $\Delta ={{\left( 3y \right)}^{2}}-4.2{{y}^{2}}={{y}^{2}}\ge 0\forall y.$
Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm $\dfrac{3y-y}{2}<{{\log }_{2}}x<\dfrac{3y+y}{2}\Leftrightarrow y<{{\log }_{2}}x<2y\Leftrightarrow {{2}^{y}}<x<{{2}^{2y}}.$
$\Rightarrow $ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( {{2}^{y}};{{2}^{2y}} \right).$
Theo bài ra ta có: Có không quá 4031 số nguyên $x$ thỏa mãn phương trình nên ${{2}^{2y}}-{{2}^{y}}+1-2\le 4031$ (trừ đi 2 đầu mút).
$\Leftrightarrow {{2}^{2y}}-{{2}^{y}}-4032\le 0$
$\Leftrightarrow -63\le {{2}^{y}}\le 64$
$\Leftrightarrow y\le 6$
Kết hợp điều kiện $y$ là số nguyên dương $\Rightarrow $ Có 6 giá trị của $y$ thỏa mãn.