Gọi $a$ là số thực lớn nhất để bất phương trình...

Đặt $t={{x}^{2}}-x+1={{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}$ suy ra $t\ge \dfrac{3}{4}$
Bất phương trình ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow t+a\ln t+1\ge 0$ $\Leftrightarrow a\ln t\ge -t-1$
Trường hợp 1: $t=1$ khi đó $a\ln t\ge -t-1$ luôn đúng với mọi $a$.
Trường hợp 2: $\dfrac{3}{4}\le t<1$
Ta có $a\ln t\ge -t-1, \forall t\in \left[ \dfrac{3}{4}; 1 \right)\Leftrightarrow a\le \dfrac{-t-1}{\ln t}, \forall t\in \left[ \dfrac{3}{4}; 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{-t-1}{\ln t}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{\ln t-1-\dfrac{1}{t}}{{{\ln }^{2}}t}\ge 0, \forall t\in \left[ \dfrac{3}{4};1 \right)$
do đó $a\le \dfrac{-t-1}{\ln t}, \forall t\in \left[ \dfrac{3}{4}; 1 \right)\Leftrightarrow a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}$
Trường hợp 3: $t>1$
Ta có $a\ln t\ge -t-1, \forall t\in \left( 1; +\infty \right)\Leftrightarrow a\ge \dfrac{-t-1}{\ln t}, \forall t\in \left( 1; +\infty \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{-t-1}{\ln t}\Rightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{\ln t-1-\dfrac{1}{t}}{{{\ln }^{2}}t} , \forall t\in \left( 1; +\infty \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=$ $\ln t-1-\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow {g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}>0$
Vậy $g\left( t \right)=0$ có tối đa một nghiệm.
Vì $g\left( 1 \right)=-2; \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( t \right)=+\infty $ vậy $g\left( t \right)=0$ có duy nhất một nghiệm trên $\left( 1; +\infty \right)$
Do đó ${f}'\left( t \right)=0$ có duy nhất một nghiệm là ${{t}_{0}}$. Khi đó $\ln {{t}_{0}}=\dfrac{{{t}_{0}}+1}{{{t}_{0}}}$ suy ra $f\left( {{t}_{0}} \right)=-{{t}_{0}}$
Bảng biến thiên
Vậy $a\ge \dfrac{-t-1}{\ln t}, \forall t\in \left( 1; +\infty \right)\Leftrightarrow a\ge -{{t}_{0}}$.
Vậy $-{{t}_{0}}\le a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}$.
Vậy số thực $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $a\in \left( 6; 7 \right]$.