Gọi $a$ là giá trị nhỏ nhất của $f\left(n \right)=\dfrac{\left({{\log }_{5}}2 \right)\left({{\log }_{5}}3 \right)\left( {{\log }_{5}}4...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Gọi

a

là giá trị nhỏ nhất của

f (n) = \frac{(\log_{5} 2) (\log_{5} 3) (\log_{5} 4) . . . (\log_{5} n)}{3^{n}},

với

n \in N, n \geq 2.

Có bao nhiêu số

n

để

f (n) = a ?

A. 4.
B. Vô số.
C. 2.
D. 1.

Ta có

\forall x \in N, n \geq 2

ta có:

f (n) > 0.

Mặt khác:

f (n + 1) = \frac{(\log_{5} 2) (\log_{5} 3) (\log_{5} 4) . . . (\log_{5} n) (\log_{5} (n + 1))}{3^{n + 1}} = f (n) \frac{\log_{5} (n + 1)}{3} .

f (n - 1) = \frac{(\log_{5} 2) (\log_{5} 3) (\log_{5} 4) . . . (\log_{5} (n - 1))}{3^{n - 1}} = f (n) \frac{3}{\log_{5} n} .

Vì

a

là giá trị nhỏ nhất nên:

{\begin{aligned} f (n + 1) \geq a \\ f (n - 1) \geq a \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} f (n) \frac{\log_{5} (n + 1)}{3} \geq a \\ f (n) \frac{3}{\log_{5} n} \geq a \end{aligned}

.
Để

f (n) = a .

Suy ra:

{\begin{aligned} f (n) \frac{\log_{5} (n + 1)}{3} \geq f (n) \\ f (n) \frac{3}{\log_{5} n} \geq f (n) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{\log_{5} (n + 1)}{3} \geq 1 \\ \frac{3}{\log_{5} n} \geq 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} \log_{5} (n + 1) \geq 3 \\ 3 \geq \log_{5} n \end{aligned}

\Leftrightarrow 5^{3} - 1 \leq n \leq 5^{3} .

Vậy có 2 số

n

nguyên thỏa mãn.

Đáp án C.

Gọi a là giá trị nhỏ nhất của $f\left(n \right)=\dfrac{\left({{\log }_{5}}2 \right)\left({{\log }_{5}}3 \right)\left( {{\log }_{5}}4...