Giải mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

HĐ1​

Hãy quan sát các đẳng thức sau:





……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên

Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:

HĐ2​

Xét đa thức
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) là một số nguyên tố
là một số nguyên tố
là một số nguyên tố
là một số nguyên tố
là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với

Luyện tập 1​

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có

Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh mệnh đề đúng với Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là ta sẽ chứng minh

Thật vậy ta có

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên

Luyện tập 2​

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có đẳng thức

Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh mệnh đề đúng với Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là ta sẽ chứng minh

Thật vậy ta có

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên