Google
Câu hỏi: Giải bất phương trình $\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x-4{{x}^{2}}{{.3}^{x}}>2x{{.3}^{x}}.\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}$ được tập nghiệm là $\left( a;b \right]$. Tính $T=3a+b+1$.
A. $-3$.
B. $-\dfrac{7}{3}$.
C. $-\dfrac{5}{3}$.
D. $-2$.
A. $-3$.
B. $-\dfrac{7}{3}$.
C. $-\dfrac{5}{3}$.
D. $-2$.
Điều kiện: $2-5x-3{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le \dfrac{1}{3}$.
Ta có: $\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x-4{{x}^{2}}{{.3}^{x}}>2x{{.3}^{x}}.\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left( 1-2x{{.3}^{x}} \right)\left( \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x \right)>0$
$\Leftrightarrow \left( {{3}^{-x}}-2x \right)\left( \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x \right)>0$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=-{{3}^{-x}}.\ln 3-2<0, \forall x\in \left( -2;\dfrac{1}{3} \right)$ và hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ liên tục trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$. Suy ra hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Hay $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{1}{3} \right)={{3}^{-\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{2}{3}\Rightarrow f\left( x \right)>0, \forall x\in \left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x>0\Leftrightarrow \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}>-2x$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x<0 \\
& 2-5x-3{{x}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& -2x\ge 0 \\
& 2-5x-3{{x}^{2}}>4{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& -2\le x\le \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& -1<x<\dfrac{2}{7} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow 0<x\le \dfrac{1}{3}$ hoặc $-1<x\le 0$
$\Leftrightarrow -1<x\le \dfrac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -1;\dfrac{1}{3} \right]\Rightarrow a=-1; b=\dfrac{1}{3}\Rightarrow T=3.\left( -1 \right)+\dfrac{1}{3}+1=-\dfrac{5}{3}$.
Ta có: $\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x-4{{x}^{2}}{{.3}^{x}}>2x{{.3}^{x}}.\sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left( 1-2x{{.3}^{x}} \right)\left( \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x \right)>0$
$\Leftrightarrow \left( {{3}^{-x}}-2x \right)\left( \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x \right)>0$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=-{{3}^{-x}}.\ln 3-2<0, \forall x\in \left( -2;\dfrac{1}{3} \right)$ và hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ liên tục trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$. Suy ra hàm số $f\left( x \right)={{3}^{-x}}-2x$ nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Hay $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{1}{3} \right)={{3}^{-\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{2}{3}\Rightarrow f\left( x \right)>0, \forall x\in \left[ -2;\dfrac{1}{3} \right]$.
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}+2x>0\Leftrightarrow \sqrt{2-5x-3{{x}^{2}}}>-2x$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x<0 \\
& 2-5x-3{{x}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& -2x\ge 0 \\
& 2-5x-3{{x}^{2}}>4{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& -2\le x\le \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& -1<x<\dfrac{2}{7} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow 0<x\le \dfrac{1}{3}$ hoặc $-1<x\le 0$
$\Leftrightarrow -1<x\le \dfrac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -1;\dfrac{1}{3} \right]\Rightarrow a=-1; b=\dfrac{1}{3}\Rightarrow T=3.\left( -1 \right)+\dfrac{1}{3}+1=-\dfrac{5}{3}$.
Đáp án C.