Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1 ; 0) và B(0 ; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
MA = 2MB.
MA = 2MB.
Phương pháp giải
Bước 1: Tham số hóa tọa độ điểm M rồi tính độ dài MA, MB
Bước 2: Biến đổi giả thiết MA = 2MB rồi kết luận về tập hợp các điểm M thỏa mãn
Lời giải chi tiết
Gọi M(x ; y)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (a - 1;b) \Rightarrow AM = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} \Rightarrow A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2}\)
\(\overrightarrow {BM} = (a;b - 3) \Rightarrow BM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 3)}^2}} \Rightarrow B{M^2} = {x^2} + {(y - 3)^2}\)
Theo giả thiết, \(MA = 2MB \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\) \( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 4\left[ {{x^2} + {{(y - 3)}^2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 2x - 24y + 35 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{2}{3}x - 8y + \frac{{35}}{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\)
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB là đường tròn có PT: \({\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\) với tâm là \(I\left( { - \frac{1}{3};4} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).
Bước 1: Tham số hóa tọa độ điểm M rồi tính độ dài MA, MB
Bước 2: Biến đổi giả thiết MA = 2MB rồi kết luận về tập hợp các điểm M thỏa mãn
Lời giải chi tiết
Gọi M(x ; y)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (a - 1;b) \Rightarrow AM = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} \Rightarrow A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2}\)
\(\overrightarrow {BM} = (a;b - 3) \Rightarrow BM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 3)}^2}} \Rightarrow B{M^2} = {x^2} + {(y - 3)^2}\)
Theo giả thiết, \(MA = 2MB \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\) \( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 4\left[ {{x^2} + {{(y - 3)}^2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 2x - 24y + 35 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{2}{3}x - 8y + \frac{{35}}{3} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\)
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB là đường tròn có PT: \({\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\) với tâm là \(I\left( { - \frac{1}{3};4} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).