Giải bài 7.34 trang 46 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Phương pháp giải
+ Parabol $\left(P\right)$ có dạng $y^2=2px$ với $p>0$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$, phương trình đường chuẩn $\mathrm{\Delta }:x=-\frac{p}{2}$
+ Khoảng cách từ A và B đến Ox và tính tính của chúng
Lời giải chi tiết
Gọi vecto chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$ là $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(a;b\right)$. Vì $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $F\left(4;0\right)$ và $\mathrm{\Delta }$ không trùng với trục $Ox$ nên ta có $b\ne 0$. Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$:
$\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=0+bt=bt\end{array}$
+ $\mathrm{\Delta }\cap \left(P\right)\Rightarrow {\left(bt\right)}^2=16\left(4+at\right)\Rightarrow b^2{t}^2-16at-64=0$
+ Phương trình (1) có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=64a^2+64b^2>0$ (do $b\ne 0$) suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $\mathrm{\Delta }$ luôn cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt A, B
+ Gọi $A(4+a{t}_1;b{t}_1),B\left(4+a{t}_2;b{t}_2\right)$ trong đó $t_1,t_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có: $d\left(A,Ox\right).d\left(B,Ox\right)=\frac{\left|b{t}_1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}.\frac{\left|b{t}_2\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|b^2{t}_1{t}_2\right|$
+ Theo định lí Vi-ét, ta có $t_1{t}_2=\frac{-64}{b^2}\Rightarrow d\left(A,Ox\right).d\left(B,Ox\right)=\left|b^2.\frac{-64}{b^2}\right|=64$
$\Rightarrow$ Tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi