Google
Câu hỏi: Cho hai parabol có phương trình \({y^2} = 2px\) và \(y = a{x^2} + bx + c (a \ne 0)\). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0\)
Lời giải chi tiết
Nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì tọa độ của bốn điểm đó thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\y = a{x^2} + bx + c (a \ne 0) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\\frac{1}{a}y = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{a}y + {y^2} = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} - 2px\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0 (dpcm)\end{array}\)
Nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì tọa độ của bốn điểm đó thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\y = a{x^2} + bx + c (a \ne 0) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\\frac{1}{a}y = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{a}y + {y^2} = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} - 2px\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0 (dpcm)\end{array}\)