Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=x.{{e}^{x+1}}$ trên đoạn $\left[ -2;4 \right]$ là:

Phương pháp:
- Tính $f'\left( x \right),$ xác định các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ -2;4 \right]$ của phương trình $f'\left( x \right)=0.$
- Tính $f\left( -2 \right),f\left( 4 \right),f\left( {{x}_{i}} \right).$
- KL: $\underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( -2 \right),f\left( 4 \right),f\left( {{x}_{i}} \right) \right\},\underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( -2 \right),f\left( 4 \right),f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}.$
Cách giải:
Ta có: $f\left( x \right)=x.{{e}^{x+1}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)={{e}^{x+1}}+x.{{e}^{x+1}}={{e}^{x+1}}\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1\in \left[ -2;4 \right]$
Mà $f\left( -2 \right)=\dfrac{-2}{e};f\left( -1 \right)=-1;f\left( 4 \right)=4{{e}^{5}}.$
Vậy $\underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=-1.$