Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-3x}{x+1}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ bằng:

Phương pháp:
- Tính $f'\left( x \right),$ xác định các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ 0;2 \right]$ của phương trình $f'\left( x \right)=0.$
- Tính $f\left( 0 \right),f\left( 2 \right),f\left( {{x}_{i}} \right).$
- KL: $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$
Cách giải:
Hàm số đã cho xác định liên tục trên $\left[ 0;2 \right].$
Ta có
$f'\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x-3 \right)\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+3x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;2 \right] \\
& x=-3\notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right..$
Mà $f\left( 0 \right)=0,f\left( 1 \right)=-1,f\left( 2 \right)=-\dfrac{2}{3}.$
Vậy $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1.$