Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=\cos 2x-5\cos x$ bằng:

Phương pháp:
- Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1$
- Đặt ẩn phụ $t=\cos x,t\in \left[ -1;1 \right],$ đưa về bài toán tìm GTNN của hàm số $y=f\left( t \right)$ nên $\left[ -1;1 \right].$
- Tính $f'\left( t \right)$, xác định các nghiệm ${{t}_{i}}\in \left[ -1;1 \right].$
- Tính các giá trị $f\left( -1 \right),f\left( 1 \right),f\left( {{t}_{i}} \right)$.
-KL: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=\min \left\{ f\left( -1 \right),f\left( 1 \right),f\left( {{t}_{i}} \right) \right\}$.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\cos 2x-5\cos x=2{{\cos }^{2}}x-5\cos x-1.$
Đặt $t=\cos x,t\in \left[ -1;1 \right],$ bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số $y=f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-5t-1$ trên $\left[ -1;1 \right].$
Ta có: $f'\left( t \right)=4t-5=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{4}\notin \left[ -1;1 \right].$
Lại có $f\left( -1 \right)=6,f\left( 1 \right)=-4.$
Vậy $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=-4.$