Giá trị $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{2}^{-x}}-2}{{{2}^{-x}}-m}$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)$ là

Ta có $y'=\dfrac{2-m}{{{\left( {{2}^{-x}}-m \right)}^{2}}}.\left( {{2}^{-x}} \right)'=\dfrac{2-m}{{{\left( {{2}^{-x}}-m \right)}^{2}}}.\left( -{{2}^{-x}}.\ln 2 \right).$
Nhận xét: Với $x\in \left( -1;0 \right)\Rightarrow {{2}^{-x}}\in \left( 1;2 \right).$
Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{-x}}\ne m \\
& y'<0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -1;0 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& 2-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 1.$
Vậy với $m\le 1$ thì hàm số $y=\dfrac{{{2}^{-x}}-2}{{{2}^{-x}}-m}$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right).$