Google
Câu hỏi: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}+\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}$ là $M,m.$ Tính tổng $M+m.$
A. $3+2\sqrt{2}$.
B. $2+\sqrt{2}$.
C. $2+2\sqrt{2}$.
D. $3+\sqrt{2}$.
A. $3+2\sqrt{2}$.
B. $2+\sqrt{2}$.
C. $2+2\sqrt{2}$.
D. $3+\sqrt{2}$.
TXĐ: $D=4\le x\le 6.$
Đặt $t=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\Rightarrow \dfrac{{{t}^{2}}}{2}-1=\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}$ với $4\le x\le 6.$
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}-\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow x=5.$
Bảng biến thiên
Vậy $f\left( x \right)\in \left[ \sqrt{2};2 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};2 \right]$
Hàm số đã cho trở thành $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{2}+t-1$ với $t\in \left[ \sqrt{2};2 \right].$
Khi đó $y'=t+1.$ Suy ra $y'=0\Leftrightarrow t=-1\notin \left[ \sqrt{2};2 \right].$
Ta có: $f\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2};f\left( 2 \right)=3.$ Suy ra $M=3,m=\sqrt{2}.$
Vậy $M+m=3+\sqrt{2}.$
Đặt $t=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\Rightarrow \dfrac{{{t}^{2}}}{2}-1=\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}$ với $4\le x\le 6.$
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}-\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow x=5.$
Bảng biến thiên
Vậy $f\left( x \right)\in \left[ \sqrt{2};2 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};2 \right]$
Hàm số đã cho trở thành $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{2}+t-1$ với $t\in \left[ \sqrt{2};2 \right].$
Khi đó $y'=t+1.$ Suy ra $y'=0\Leftrightarrow t=-1\notin \left[ \sqrt{2};2 \right].$
Ta có: $f\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2};f\left( 2 \right)=3.$ Suy ra $M=3,m=\sqrt{2}.$
Vậy $M+m=3+\sqrt{2}.$
Đáp án D.