Google
Câu hỏi: Giá trị lớn nhất của hàm số ${y={{\cos }^{2}}x.{{e}^{\sin x}}}$ trên đoạn ${\left[ 0;\pi \right]}$ là một số có dạng ${\left( a\sqrt{2}+b \right).{{e}^{c\sqrt{2}+d}}}$, trong đó ${a, b, c, d}$ là các số nguyên. Tính ${a+b+c+d}$.
A. ${4}$.
B. ${6}$.
C. ${0}$.
D. ${-4}$.
A. ${4}$.
B. ${6}$.
C. ${0}$.
D. ${-4}$.
Đặt $t=\sin x,t\in \left[ 0;1 \right]$
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số $y=co{{s}^{2}}x.{{\text{e}}^{\sin x}}$ trên đoạn $\left[ 0;\pi \right]$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right){{e}^{t}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Ta có $f'\left( t \right)=-{{e}^{t}}\left( {{t}^{2}}+2t1 \right)$
Khi đó $f'\left( t \right)=0\Rightarrow -{{e}^{t}}\left( {{t}^{2}}+2t-1 \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow t=-1\pm \sqrt{2}$
Do $t\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t=-1+\sqrt{2}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=0,f\left( -1+\sqrt{2} \right)=\left( 2\sqrt{2}2 \right){{e}^{\sqrt{2}-1}}$
Vậy $ma{{x}_{\left[ 0;1 \right]}}f\left( t \right)=f\left( -1+\sqrt{2} \right)=\left( 2\sqrt{2}2 \right){{e}^{\sqrt{2}-1}}$
Khi đó $a=2,b=-2,c=1,d=-1,$,vậy $a+b+c+d=0.$
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số $y=co{{s}^{2}}x.{{\text{e}}^{\sin x}}$ trên đoạn $\left[ 0;\pi \right]$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right){{e}^{t}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Ta có $f'\left( t \right)=-{{e}^{t}}\left( {{t}^{2}}+2t1 \right)$
Khi đó $f'\left( t \right)=0\Rightarrow -{{e}^{t}}\left( {{t}^{2}}+2t-1 \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow t=-1\pm \sqrt{2}$
Do $t\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t=-1+\sqrt{2}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1,f\left( 1 \right)=0,f\left( -1+\sqrt{2} \right)=\left( 2\sqrt{2}2 \right){{e}^{\sqrt{2}-1}}$
Vậy $ma{{x}_{\left[ 0;1 \right]}}f\left( t \right)=f\left( -1+\sqrt{2} \right)=\left( 2\sqrt{2}2 \right){{e}^{\sqrt{2}-1}}$
Khi đó $a=2,b=-2,c=1,d=-1,$,vậy $a+b+c+d=0.$
Đáp án C.