Giá trị của tổng $S = C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + . . . + C_{100}^{3}$ bằng

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Giá trị của tổng

S = C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + . . . + C_{100}^{3}

bằng
A.

C_{101}^{4}

.
B.

C_{105}^{5}

.
C.

C_{102}^{6}

.
D.

C_{100}^{4}

.

Ta có:

\begin{aligned} C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + . . . . + C_{100}^{3} \\ = \frac{3!}{3! .0!} + \frac{4!}{3! .1!} + \frac{5!}{3! .2!} + . . . . + \frac{100!}{3! .97!} \\ = \frac{1}{3!} . (1.2 .3 + 2.3 .4 + 3.4 .5 + . . . . + 98.99 .100) \end{aligned}

Chứng minh bằng quy nạp ta được:

1.2 .3 + 2.3 .4 + 3.4 .5 + . . . + n (n + 1) (n + 2) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4}

Áp dụng vào ta có:

C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + . . . . + C_{100}^{3} = \frac{1}{3!} . \frac{98.99 .100 .101}{4} = \frac{101!}{4! .97!} = C_{101}^{4}

Đáp án A.

Giá trị của tổng S=C33+C43+...+C1003 bằng