Google
Câu hỏi: Giá trị của tổng $S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}$ bằng
A. $C_{101}^{4}$.
B. $C_{105}^{5}$.
C. $C_{102}^{6}$.
D. $C_{100}^{4}$.
A. $C_{101}^{4}$.
B. $C_{105}^{5}$.
C. $C_{102}^{6}$.
D. $C_{100}^{4}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+....+C_{100}^{3} \\
& =\dfrac{3!}{3!.0!}+\dfrac{4!}{3!.1!}+\dfrac{5!}{3!.2!}+....+\dfrac{100!}{3!.97!} \\
& =\dfrac{1}{3!}.(1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+98.99.100) \\
\end{aligned}$
Chứng minh bằng quy nạp ta được: $1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
Áp dụng vào ta có: $C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+....+C_{100}^{3}=\dfrac{1}{3!}.\dfrac{98.99.100.101}{4}=\dfrac{101!}{4!.97!}=C_{101}^{4}$
$\begin{aligned}
& C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+....+C_{100}^{3} \\
& =\dfrac{3!}{3!.0!}+\dfrac{4!}{3!.1!}+\dfrac{5!}{3!.2!}+....+\dfrac{100!}{3!.97!} \\
& =\dfrac{1}{3!}.(1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+98.99.100) \\
\end{aligned}$
Chứng minh bằng quy nạp ta được: $1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
Áp dụng vào ta có: $C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+....+C_{100}^{3}=\dfrac{1}{3!}.\dfrac{98.99.100.101}{4}=\dfrac{101!}{4!.97!}=C_{101}^{4}$
Đáp án A.