Google
Câu hỏi: Giá trị của tham số m sao cho phương trình ${{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$ có một nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $\left( 14;15 \right)$.
B. $\left( 10;12 \right)$.
C. $\left( 13;14 \right)$.
D. $\left( 20;22 \right)$.
A. $\left( 14;15 \right)$.
B. $\left( 10;12 \right)$.
C. $\left( 13;14 \right)$.
D. $\left( 20;22 \right)$.
Ta có nhận xét nếu $x={{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình ${{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$ thì $4-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình này. Để phương trình có một nghiệm thực duy nhất ${{x}_{0}}=4-{{x}_{0}}$ $\Rightarrow 2{{x}_{0}}=4\Rightarrow {{x}_{0}}=2$. Thế vào phương trình ta được $2{{e}^{2}}=m$
Thay $2{{e}^{2}}=m$ ta được ${{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=2{{e}^{2}}\cos \left( \pi x \right)$ $\Leftrightarrow {{e}^{x-2}}+{{e}^{2-x}}=2\cos \left( \pi x \right)$
$VT={{e}^{x-2}}+{{e}^{2-x}}\ge 2\sqrt{{{e}^{x-2}}.{{e}^{2-x}}}=2$
$VP=2\cos \left( \pi x \right)\le 2$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{x-2}}={{e}^{2-x}} \\
& \cos \left( \pi x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2 $. Vậy phương trình $ {{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=m\cos \left( \pi x \right) $ có một nghiệm thực duy nhất $ x=2$.
Thay $2{{e}^{2}}=m$ ta được ${{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=2{{e}^{2}}\cos \left( \pi x \right)$ $\Leftrightarrow {{e}^{x-2}}+{{e}^{2-x}}=2\cos \left( \pi x \right)$
$VT={{e}^{x-2}}+{{e}^{2-x}}\ge 2\sqrt{{{e}^{x-2}}.{{e}^{2-x}}}=2$
$VP=2\cos \left( \pi x \right)\le 2$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{x-2}}={{e}^{2-x}} \\
& \cos \left( \pi x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2 $. Vậy phương trình $ {{e}^{x}}+{{e}^{4-x}}=m\cos \left( \pi x \right) $ có một nghiệm thực duy nhất $ x=2$.
Đáp án A.