Giá trị của tham số m sao cho phương trình...

Ta có nhận xét nếu $x=x_0$ là một nghiệm của phương trình $e^x+e^{4-x}=m\cos \left(\pi x\right)$ thì $4-x_0$ cũng là nghiệm của phương trình này. Để phương trình có một nghiệm thực duy nhất $x_0=4-x_0$ $\Rightarrow 2x_0=4\Rightarrow x_0=2$. Thế vào phương trình ta được $2e^2=m$
Thay $2e^2=m$ ta được $e^x+e^{4-x}=2e^2\cos \left(\pi x\right)$ $\iff e^{x-2}+e^{2-x}=2\cos \left(\pi x\right)$
$VT=e^{x-2}+e^{2-x}\ge 2\sqrt{e^{x-2}.e^{2-x}}=2$
$VP=2\cos \left(\pi x\right)\le 2$
Dấu "=" xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& e^{x-2}=e^{2-x}\\ & \cos \left(\pi x\right)=1\end{array}\iff x=2$. Vậy phương trình $e^x+e^{4-x}=m\cos \left(\pi x\right)$ có một nghiệm thực duy nhất $x=2$.