Giá trị của m để đường thẳng $d:y=x-m$ cắt đồ thị hàm số...

Phương pháp:
- Tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số.
- Sử dụng định lí vi-ét.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x- m= 2 x
$x-m=\dfrac{2x-3}{x-1}\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-1 \right)=2x-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+m+3=0\left( * \right)$
Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow \vartriangle ={{\left( m+3 \right)}^{2}}-4\left( m+3 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+3>4 \\
& m+3<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\left( {{x}_{M}};{{x}_{M}}-m \right);N\left( {{x}_{N;}}{{x}_{N}}-m \right)$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+{{x}_{N}}=m+3 \\
& {{x}_{M}}{{x}_{N}}=m+3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\overrightarrow{OM}\left( {{x}_{M}};{{x}_{M}}-m \right); \overrightarrow{ON}\left( {{x}_{N}};{{x}_{N}}-m \right)$
Mà tam giác OMN vuông tại O⇒ $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=0$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{x}_{M}}{{x}_{N}}+\left( {{x}_{M}}-m \right)\left( {{x}_{N}}-m \right)=o \\
& \Leftrightarrow 2{{x}_{M}}{{x}_{N}}-\left( {{x}_{M}}+{{x}_{N}} \right)m+{{m}^{2}}=0 \\
& \Leftrightarrow 2m+6-\left( m+3 \right)m+{{m}^{2}}=0 \\
& \Leftrightarrow -m+6=0\Leftrightarrow m=6\left( tm \right) \\
\end{aligned}$