Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $-5+\sqrt{73}$.
B. $5-\sqrt{21}$.
C. $20-2\sqrt{73}$.
D. $20-4\sqrt{21}$.
Đặt $z=x+yi$ với $x;y\in \mathbb{R}$. Gọi $A;B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\Rightarrow AB=6$.
Và $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)=\left( x+yi-6 \right)\left( 8-xi-y \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$
$=\left[ \left( x-6 \right)\left( 8-y \right)+xy \right]+\left[ \left( 8-y \right)y-\left( x-6 \right)x \right]i$ $=8x+6y-48-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i$.
Theo giả thiết $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là số thực nên ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$
Do đó $A;B\in \left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$.
Xét điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, khi đó: $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=16$, $IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}$.
Suy ra: Điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow 4O{{M}_{\min }}=4\left| OI-{{R}_{1}} \right|=4\left( 5-\dfrac{\sqrt{73}}{2} \right)=20-2\sqrt{73}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=20-2\sqrt{73}$.
A. $-5+\sqrt{73}$.
B. $5-\sqrt{21}$.
C. $20-2\sqrt{73}$.
D. $20-4\sqrt{21}$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6\Rightarrow AB=6$.
Và $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)=\left( x+yi-6 \right)\left( 8-xi-y \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$
$=\left[ \left( x-6 \right)\left( 8-y \right)+xy \right]+\left[ \left( 8-y \right)y-\left( x-6 \right)x \right]i$ $=8x+6y-48-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i$.
Theo giả thiết $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là số thực nên ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$
Do đó $A;B\in \left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$.
Xét điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, khi đó: $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=16$, $IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}$.
Suy ra: Điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow 4O{{M}_{\min }}=4\left| OI-{{R}_{1}} \right|=4\left( 5-\dfrac{\sqrt{73}}{2} \right)=20-2\sqrt{73}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=20-2\sqrt{73}$.
Đáp án C.