Google
Câu hỏi: Giả sử phương trình ${{25}^{x}}+{{15}^{x}}={{6.9}^{x}}$ có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng $\dfrac{a}{{{\log }_{b}}c-{{\log }_{b}}d}$, với $a$ là số nguyên dương và $b,c,d$ là các số nguyên tố. Tính $S={{a}^{2}}+b+c+d$.
A. $S=19.$
B. $S=14.$
C. $S=11.$
D. $S=12.$
A. $S=19.$
B. $S=14.$
C. $S=11.$
D. $S=12.$
Phương trình: ${{25}^{x}}+{{15}^{x}}={{6.9}^{x}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{25}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{15}{9} \right)}^{x}}-6=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}-6=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}=2 \\
& {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}=-3\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow x={{\log }_{\dfrac{5}{3}}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{3} \right)}=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}3}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2 \\
& c=5 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S={{a}^{2}}+b+c+d={{1}^{2}}+2+5+3=11$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}-6=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}=2 \\
& {{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{x}}=-3\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow x={{\log }_{\dfrac{5}{3}}}2=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{3} \right)}=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}3}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2 \\
& c=5 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S={{a}^{2}}+b+c+d={{1}^{2}}+2+5+3=11$
Đáp án C.