Google
Câu hỏi: Giả sử $\left( x;y \right)$ là cặp số nguyên thỏa mãn đồng thời $8\le x\le 2022$ và ${{2}^{y}}-{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=2x-y$. Tổng các giá trị của $y$ bằng
A. $60.$
B. $63.$
C. $2022.$
D. $49.$
A. $60.$
B. $63.$
C. $2022.$
D. $49.$
${{2}^{y}}-{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=2x-y\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+y=2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+{{\log }_{2}}{{2}^{y}}=2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$.
Hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do vậy, $f\left( {{2}^{y}} \right)=f\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{y}}=x+{{2}^{y-1}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}$.
$8\le x\le 2022\Rightarrow 8\le {{2}^{y-1}}\le 2022\Leftrightarrow 3\le y-1\le 10\Leftrightarrow 4\le y\le 11$.
Vậy $4+5+6+...+11=60$.
$\Leftrightarrow {{2.2}^{y}}+{{\log }_{2}}{{2}^{y}}=2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$.
Hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do vậy, $f\left( {{2}^{y}} \right)=f\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{y}}=x+{{2}^{y-1}}\Leftrightarrow x={{2}^{y-1}}$.
$8\le x\le 2022\Rightarrow 8\le {{2}^{y-1}}\le 2022\Leftrightarrow 3\le y-1\le 10\Leftrightarrow 4\le y\le 11$.
Vậy $4+5+6+...+11=60$.
Đáp án A.