Giả sử ${{\left(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{4}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}\left( {{a}_{i}}\in...

Phương pháp giải:
- Phân tích $1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}$ thành nhân tử.
- Khai triển nhị thức Niu-tơn: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$.
- Tìm ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}$ lần lượt là hệ số của các số hạng không chứa x, chứa x, chứa ${{x}^{2}},{{x}^{3}},{{x}^{4}}$.
- Thay vào tính S.
Giải chi tiết:
Ta có: ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{4}}={{\left( 1+x+{{x}^{2}}\left( x+1 \right) \right)}^{4}}={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{k}}\sum\limits_{m=0}^{4}{C_{4}^{m}{{x}^{2m}}}}$
Khi đó ta có
$\left( k;m \right)=\left( 0;0 \right)\Rightarrow {{a}_{0}}=C_{4}^{0}.C_{4}^{0}=1$
$\left( k;m \right)=\left( 1;0 \right)\Rightarrow {{a}_{1}}=C_{4}^{1}C_{4}^{0}=4$
$\left( k;m \right)\in \left\{ \left( 2;0 \right);\left( 0;1 \right) \right\}\Rightarrow {{a}_{2}}=C_{4}^{2}C_{4}^{0}+C_{4}^{0}.C_{4}^{1}=10$
$\left( k;m \right)\in \left\{ \left( 3;0 \right);\left( 1;1 \right) \right\}\Rightarrow {{a}_{3}}=C_{4}^{3}C_{4}^{0}+C_{4}^{1}.C_{4}^{1}=20$
$\left( k;m \right)\in \left\{ \left( 4;0 \right);\left( 2;1 \right);\left( 0;2 \right) \right\}\Rightarrow {{a}_{4}}=C_{4}^{4}C_{4}^{0}+C_{4}^{2}C_{4}^{1}+C_{4}^{0}.C_{4}^{2}=31$
Vậy $S=C_{4}^{0}{{a}_{4}}-C_{4}^{1}{{a}_{3}}+C_{4}^{2}{{a}_{2}}-C_{4}^{3}{{a}_{1}}+C_{4}^{4}{{a}_{0}}=-4$.