Giả sử ${{\left(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{4}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}\left( {{a}_{i}}\in...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Giả sử

{(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{12} x^{12} (a_{i} \in R)

. Giá trị của tổng

S = C_{4}^{0} a_{4} - C_{4}^{1} a_{3} + C_{4}^{2} a_{2} - C_{4}^{3} a_{1} + C_{4}^{4} a_{0}

bằng:
A. 1
B.

- 4

C.

- 1

D. 4

Phương pháp giải:
- Phân tích

1 + x + x^{2} + x^{3}

thành nhân tử.
- Khai triển nhị thức Niu-tơn:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

.
- Tìm

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

lần lượt là hệ số của các số hạng không chứa x, chứa x, chứa

x^{2}, x^{3}, x^{4}

.
- Thay vào tính S.
Giải chi tiết:
Ta có:

{(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{4} = {(1 + x + x^{2} (x + 1))}^{4} = {(x + 1)}^{4} {(x^{2} + 1)}^{4} = \sum_{k = 0}^{4} C_{4}^{k} x^{k} \sum_{m = 0}^{4} C_{4}^{m} x^{2 m}

Khi đó ta có

(k; m) = (0; 0) \Rightarrow a_{0} = C_{4}^{0} . C_{4}^{0} = 1

(k; m) = (1; 0) \Rightarrow a_{1} = C_{4}^{1} C_{4}^{0} = 4

(k; m) \in {(2; 0); (0; 1)} \Rightarrow a_{2} = C_{4}^{2} C_{4}^{0} + C_{4}^{0} . C_{4}^{1} = 10

(k; m) \in {(3; 0); (1; 1)} \Rightarrow a_{3} = C_{4}^{3} C_{4}^{0} + C_{4}^{1} . C_{4}^{1} = 20

(k; m) \in {(4; 0); (2; 1); (0; 2)} \Rightarrow a_{4} = C_{4}^{4} C_{4}^{0} + C_{4}^{2} C_{4}^{1} + C_{4}^{0} . C_{4}^{2} = 31

Vậy

S = C_{4}^{0} a_{4} - C_{4}^{1} a_{3} + C_{4}^{2} a_{2} - C_{4}^{3} a_{1} + C_{4}^{4} a_{0} = - 4

.

Đáp án B.