Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng $G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của ${{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)$ là
A. $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
B. $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
C. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
D. $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
A. $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
B. $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
C. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
D. $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.
Dùng công thức nguyên hàm từng phần ta có:
$\int{{{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\text{d}x}={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2\int{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)\text{d}x}$
$={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2{{x}^{3}}+C={G}'\left( x \right)+2{{x}^{3}}+C=3{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}+C$
$\int{{{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\text{d}x}={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2\int{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)\text{d}x}$
$={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2{{x}^{3}}+C={G}'\left( x \right)+2{{x}^{3}}+C=3{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}+C$
Đáp án B.