Giả sử $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng $G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
- Sử dụng: $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C \\
& f\left( x \right)=F'\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cách giải:
Xét $I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{-2x}}f'\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{e}^{-2x}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=-2{{e}^{-2x}}dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)dx}.$
Vì $G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)dx}=G\left( x \right)+C={{x}^{3}}+C \\
& {{e}^{-2x}}f\left( x \right)=G'\left( x \right)=3{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C.$