Google
Câu hỏi: Giả sử $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình bên bằng 3. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}$ bằng:
A. $\dfrac{4}{3}$
B. 3
C. 2
D. $\dfrac{3}{2}$
A. $\dfrac{4}{3}$
B. 3
C. 2
D. $\dfrac{3}{2}$
Phương pháp:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),$ trục hoành, đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}.$
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Vì diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng 3 nên $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=3$ (do $f\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left[ 0;2 \right]$ )
Đặt $t=2x$ ta có $dt=2dx.$ Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{3}{2}.$
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),$ trục hoành, đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}.$
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Vì diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng 3 nên $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=3$ (do $f\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left[ 0;2 \right]$ )
Đặt $t=2x$ ta có $dt=2dx.$ Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{3}{2}.$
Đáp án D.