Google
Câu hỏi: Giả sử $a, b$ là các số thực sao cho $x^3+y^3=a \cdot 10^{3 z}+b \cdot 10^{2 z}$ đúng với mọi các số thực dương $x$, $y, z$ thoả mãn $\log (x+y)=z$ và $\log \left(x^2+y^2\right)=z+1$. Giá trị của $a+b$ bằng
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $\dfrac{29}{2}$.
C. $-\dfrac{31}{2}$.
D. $-\dfrac{25}{2}$.
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $\dfrac{29}{2}$.
C. $-\dfrac{31}{2}$.
D. $-\dfrac{25}{2}$.
Đặt $t=10^z$. Khi đó $x^3+y^3=a \cdot t^3+b \cdot t^2$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}\log (x+y)=z \\ \log \left(x^2+y^2\right)=z+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=10^z=t \\ x^2+y^2=10.10^z=10 t\end{array} \Rightarrow x y=\dfrac{t^2-10 . t}{2}\right.\right.$.
Khi đó $x^3+y^3=(x+y)^3-3 x y(x+y)=t^3-\dfrac{3 t\left(t^2-10 t\right)}{2}=-\dfrac{1}{2} t^3+15 t^2$.
Suy ra $a=-\dfrac{1}{2}, b=15$.
Vậy $a+b=\dfrac{29}{2}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}\log (x+y)=z \\ \log \left(x^2+y^2\right)=z+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=10^z=t \\ x^2+y^2=10.10^z=10 t\end{array} \Rightarrow x y=\dfrac{t^2-10 . t}{2}\right.\right.$.
Khi đó $x^3+y^3=(x+y)^3-3 x y(x+y)=t^3-\dfrac{3 t\left(t^2-10 t\right)}{2}=-\dfrac{1}{2} t^3+15 t^2$.
Suy ra $a=-\dfrac{1}{2}, b=15$.
Vậy $a+b=\dfrac{29}{2}$.
Đáp án B.