Google
Câu hỏi: Giả sử $a,b$ là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}$ đúng với mọi các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\log \left( x+y \right)=z$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1.$ Giá trị của $a+b$ bằng
A. $-\dfrac{31}{2}$
B. $\dfrac{31}{2}$
C. $\dfrac{29}{2}$
D. $-\dfrac{25}{2}$
A. $-\dfrac{31}{2}$
B. $\dfrac{31}{2}$
C. $\dfrac{29}{2}$
D. $-\dfrac{25}{2}$
Ta đặt ${{10}^{z}}=u.$ Khi đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a.{{u}^{3}}+b.{{u}^{2}}.\left( 1 \right)$
Hơn nữa, $\log \left( x+y \right)=z$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1$ ta được
$\log \left( x+y \right)=z\Rightarrow x+y={{10}^{z}}=u$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10.10}^{z}}=10u.$
$\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=10u\Rightarrow {{u}^{2}}-2xy=10u.$
Ta suy ra $xy=\dfrac{{{u}^{2}}-10u}{2}.$
Mà ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)={{u}^{3}}-\dfrac{3u\left( {{u}^{2}}-10u \right)}{2}=-\dfrac{1}{2}{{u}^{3}}+15{{u}^{2}}.\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ đòng nhất thức 2 vế ta được: $a=-\dfrac{1}{2},b=15.$
Vậy $a+b=-\dfrac{1}{2}+15=\dfrac{29}{2}.$
Hơn nữa, $\log \left( x+y \right)=z$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1$ ta được
$\log \left( x+y \right)=z\Rightarrow x+y={{10}^{z}}=u$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10.10}^{z}}=10u.$
$\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=10u\Rightarrow {{u}^{2}}-2xy=10u.$
Ta suy ra $xy=\dfrac{{{u}^{2}}-10u}{2}.$
Mà ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)={{u}^{3}}-\dfrac{3u\left( {{u}^{2}}-10u \right)}{2}=-\dfrac{1}{2}{{u}^{3}}+15{{u}^{2}}.\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ đòng nhất thức 2 vế ta được: $a=-\dfrac{1}{2},b=15.$
Vậy $a+b=-\dfrac{1}{2}+15=\dfrac{29}{2}.$
Đáp án C.