Đồ thị hàm số $y = x^{4} + 2 m x^{2} + 3 m^{2}$ có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận $G (0; 7)$ làm trọng tâm khi và chỉ khi

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Đồ thị hàm số

y = x^{4} + 2 m x^{2} + 3 m^{2}

có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận

G (0; 7)

làm trọng tâm khi và chỉ khi
A.

m = 1.

B.

m = - \sqrt{\frac{3}{7}}

.
C.

m = - 1.

D.

m = - \sqrt{3} .

Ta có:

y = x^{4} + 2 m x^{2} + 3 m^{2} \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} + 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x^{2} = - m \end{aligned} .

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì

m < 0.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là:

A (0; 3 m^{2}); B (- \sqrt{- m}; 2 m^{2}); C (\sqrt{- m}; 2 m^{2}) .

Vì ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận

G (0; 7)

làm trọng tâm nên

{\begin{aligned} 3 x_{G} = x_{A} + x_{B} + x_{C} \\ 3 y_{G} = y_{A} + y_{B} + y_{C} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 0 = 0 \\ 7 m^{2} = 21 \end{aligned} \Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}

mà

m < 0

do đó

m = - \sqrt{3} .

Đáp án D.

Đồ thị hàm số y=x4+2mx2+3m2 có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G(0;7) làm trọng tâm khi và chỉ khi