Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+3{{m}^{2}}$ có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận $G\left(0; 7 \right)$ làm trọng tâm khi và chỉ khi

Ta có: $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+3{{m}^{2}}\Rightarrow y'=4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right..$
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì $m<0.$ Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là: $A\left(0; 3{{m}^{2}} \right); B\left(-\sqrt{-m}; 2{{m}^{2}} \right); C\left(\sqrt{-m}; 2{{m}^{2}} \right).$
Vì ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận $G\left(0; 7 \right)$ làm trọng tâm nên
$\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}_{G}}={{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}} \\
& 3{{y}_{G}}={{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0=0 \\
& 7{{m}^{2}}=21 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3} $ mà $ m<0 $ do đó $ m=-\sqrt{3}.$