Google
Câu hỏi: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}\left( a>0,a\ne 1 \right)$ qua điểm $I\left( 1;1 \right)$. Giá trị của biểu thức $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023} \right)$ bằng
A. $2022$.
B. $2024$.
C. $-2023$.
D. $-2021$.
A. $2022$.
B. $2024$.
C. $-2023$.
D. $-2021$.
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ ; $\left( {{C}_{1}} \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
$M\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};{{y}_{M}} \right)\in \left( {{C}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow {{y}_{M}}=f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023} \right)$.
Gọi $N$ đối xứng với $M$ qua $I\left( 1;1 \right)$ $\Rightarrow N\left( -{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};2-{{y}_{M}} \right)$.
Do đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ đối xứng $\left( C \right)$ qua $I\left( 1;1 \right)$ nên $N\left( -{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};2-{{y}_{M}} \right)\in \left( C \right)$.
$N\in \left( C \right)$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}={{a}^{-{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023}}}$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}={{a}^{{{\log }_{a}}2023}}$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}=2023$ $\Leftrightarrow {{y}_{M}}=-2021$.
Vậy $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023} \right)=-2021$.
$M\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};{{y}_{M}} \right)\in \left( {{C}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow {{y}_{M}}=f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023} \right)$.
Gọi $N$ đối xứng với $M$ qua $I\left( 1;1 \right)$ $\Rightarrow N\left( -{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};2-{{y}_{M}} \right)$.
Do đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ đối xứng $\left( C \right)$ qua $I\left( 1;1 \right)$ nên $N\left( -{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023};2-{{y}_{M}} \right)\in \left( C \right)$.
$N\in \left( C \right)$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}={{a}^{-{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023}}}$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}={{a}^{{{\log }_{a}}2023}}$ $\Leftrightarrow 2-{{y}_{M}}=2023$ $\Leftrightarrow {{y}_{M}}=-2021$.
Vậy $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2023} \right)=-2021$.
Đáp án D.