Độ lớn gia tốc có giá trị cực tiểu trong quá trình chuyển động

ruocchua1402 đã viết:

Bài toán : Một con lắc đơn khối luợng $m$, dây mảnh có chiều dài $l$. Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc $\alpha=60^0$ rồi thả nhẹ, lấy $g =10 m/s^2$, bỏ qua mọi lực cản. Độ lớn gia tốc có giá trị cực tiểu trong quá trình chuyển động là:

$A.a=10\sqrt{\dfrac{3}{2}}m/s^2$

$B. a = 0m/s^2 $

$C.a=10\sqrt{\dfrac{2}{3}}m/s^2$

$D.a=10\dfrac{\sqrt{5}}{3} m/s^2$

Click để xem thêm...

Lời giải
- Gia tốc chuyển động của vật gồm hai thành phần :
+ Gia tốc hướng tâm$${{a}_{ht}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{l}=\dfrac{2gl\left(\cos\alpha -\cos{{\alpha }_{0}} \right)}{l}=2g\left(\cos\alpha -\cos{{\alpha }_{0}} \right).$$
+ Gia tốc tiếp tuyến$${{a}_{tt}}=g\sin \alpha .$$
- Gia tốc toàn phần là $\begin{aligned}
{{a}^{2}}&={{g}^{2}}\left[ 4{{\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}+{{\sin }^{2}}\alpha \right] \\
& ={{g}^{2}}\left[ 3{{\cos }^{2}}\alpha -8\cos \alpha \cos 60+4{{\cos }^{2}}60+1 \right]. \\
& ={{g}^{2}}\left[ 3{{\cos }^{2}}\alpha -4\cos \alpha +2 \right] \\
& ={{g}^{2}}\left[ \dfrac{{{\left( 3\cos \alpha -2 \right)}^{2}}}{3}+\dfrac{2}{3} \right] \\
& \ge \dfrac{2}{3}{{g}^{2}}. \\
\end{aligned} $ Đẳng thức xảy ra khi $ \cos \alpha=\dfrac{2}{3} $ nên giá trị nhỏ nhất của gia tốc là $ g\sqrt{\dfrac{2}{3}}=10\sqrt{\dfrac{2}{3}}. \blacksquare$
Chọn C.

Câu hỏi đặt ra là có tồn tại giá trị lớn nhất của gia tốc không?
Và nếu tồn tại thì giá trị đó bằng bao nhiêu :D

Lil.Tee đã viết:

Câu hỏi đặt ra là có tồn tại giá trị lớn nhất của gia tốc không?
Và nếu tồn tại thì giá trị đó bằng bao nhiêu

Click để xem thêm...

Em nghĩ là có giá trị lớn nhất của $a$:
Xét hàm số $f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-4t+2$ với $t\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$, ta có $f'\left( t \right)=6t-4,f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}$
Do đó \[\underset{t\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=1;\underset{t\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\]
Vì vậy ${{a}_{\min }}=g\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ khi $\cos \alpha =\dfrac{2}{3}$ và ${{a}_{\max }}=g$ khi $\cos \alpha =1$, vật ở vị trí cân bằng.

Chuẩn rồi em :).

Tàn đã viết:

Bài toán : Một con lắc đơn khối luợng $m$, dây mảnh có chiều dài $l$ . Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc $\alpha_0=60^0$ rồi thả nhẹ, lấy $g =10 \ \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$, bỏ qua mọi lực cản. Độ lớn gia tốc có giá trị cực tiểu trong quá trình chuyển động là:
A. $a=10\sqrt{\dfrac{3}{2}} \ \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$
B. $a = 0 \ \left(\text{m}/\text{s}^2\right) $
C. $a=10\sqrt{\dfrac{2}{3}} \ \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$
D. $a=10\dfrac{\sqrt{5}}{3} \ \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$

Click để xem thêm...

Theo cách làm của các anh, em tìm được công thức tổng quát:
Nếu $41^o < \alpha_0 <138^o$
$$ a_{\min}=\dfrac{g}{\sqrt{3}}\sqrt{1-2 \cos 2 \alpha_0}$$
Dấu đẳng thức khi $\cos \alpha=\dfrac{4}{3} \cos \alpha_0$