Điều kiện cần và đủ để hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là

Ta có: $y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right).$
Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên $a\ne 0.$ Khi đó
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2a{{x}^{2}}+b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-\dfrac{b}{2a} \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{2a}>0 \\
& a<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& b>0 \\
\end{aligned} \right.$