Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a$ bằng

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh

a

bằng
A.

4 π a^{2}

.
B.

π a^{2} \sqrt{3}

.
C.

\frac{π a^{2} \sqrt{3}}{2}

.
D.

3 π a^{2}

.

Xét hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

R = O D

(trong đó

O

là trung điểm cạnh

B^{'} D^{'}

)
Xét

Δ B D B^{'}

vuông tại

B

ta có

B^{'} D = \sqrt{B B {^{'}}^{2} + B D^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = a \sqrt{3}

Suy ra

R = \frac{B^{'} D}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

S = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 π a^{2}

.

Đáp án D.